|
Globo Clicks - партнерские программы
|
|
Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности, соразмерности, равновесия и их нарушения.
Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении и искусстве.
Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова равновесие.
Греческое слово означает однородность, соразмерность, пропорциональность, гармонию.
Познавая качественное многообразие проявлений порядка и гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию и в количественных отношениях, при помощи геометрических построений и чисел.
Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.
Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии. Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и 4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3, плюс 2, а одна находится в центре.
В геометрии, механике всюду, где мы имеем дело с отрезками прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С. Таким образом, совершается переход от единства к двойственности, и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между А и В, дает возможность построить шесть различных возможных соотношений:
a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b
при условии
отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:
1) две симметрические части a=b; 2) a:b=c:a
Так как c=a + b, то
a/b=(a + b)/a ;
( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В, чем к A.
Это соотношение a:b=c:a или AC/CB=AB/AC
может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится
к его большей части:
3) a/b=b/c равноценно a/b=b/(a + b).
В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,
Рассмотрим равенство
a/b=c/a=(a + b)/a,
при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления; следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-метрического построения, известного как деление прямой на две неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин обеих частей, а это и соответствует формуле
a/b=(a + b)/a,
которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.
Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.
Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:
А:Н=R:B,
где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между величинами А и В.
R=(A + B)/2; H=2AB/ (A + B).
Кеплер первый обращает вни-мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее sectio divina «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-вает эту пропорцию «золотое сечение».
Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы. Прежде всего разделим на «b» оба элемента второго члена этого равенства и обозначим
a/b=x; тогда a/b=(a/b + 1)/(a/b),
или x2=x + 1
Отсюда
x2 - x 1=0
Корнями этого уравнения являются
х=1 5/2=1,61803398 .
45
2
Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.
Ф=(5 + 1)/2=1,618…; 1/Ф=(5 1) /2=0,618…;
Ф2=-(5 + 3)/2=2,618…
Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф2, Ф3, ..., Фn является одновременно и мультипликативным, и аддитив-ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес-сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что формула.
Ф=(5 + 1)/2
выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой точки зрения данное отношение является «логической» инвариан-той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано,
1 2 3 4 ... последняя
|
|
|
|
 |
На сайте: |
, ,
|
