|
|
|
§ 1. Числовые функции
Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.
1. Определение
Пусть - некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например , и пишут
. (1)
Множество называется областью определения функции , - ее аргументом, а - значением функции в точке . Используются также обозначения: для области определения и для множества значений функции.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости вида , где . График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.
В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например:
а) отрезок ;
б) интервал ;
в) полуинтервалы или ;
г) бесконечные полуинтервалы или ;
д) множество всех действительных чисел R=.
Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.
Примеры. 1) Для функции область определения и множество значений
имеют вид: , ; график функции представлен на рис. 1.
Рис. 1.
2) Для функции имеем , ; график функции изображен на рис. 2.
Рис. 2.
3) Для функции имеем: ,
; ее график приведен на рис. 3.
Рис. 3.
2. Основные элементарные функций
Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.
а) Линейная функция:
R,
где и некоторые постоянные (числа); график прямая с угловым коэффициен-
том (, где угол наклона прямой к оси ):
Рис.4.
б) Квадратичная функция:
R,
Рис. 5.
где , , - постоянные коэффициенты; график парабола, ее расположение существенно зависит от величины
,
называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента :
в) Обратно пропорциональная зависимость:
,
где - постоянная. График гипербола:
Рис. 6.
г) Степенная функция:
,
где и - постоянные; область определения существенно зависит от . В п. в) рассмотрен случай , а в примере 1 - случай . Приведем еще графики функций для и :
Рис. 7.
е) Показательная функция:
R,
где - постоянная; график в зависимости от значения имеет вид:
Рис. 8.
Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными элементарными функциями.
3. Сложная функция
Пусть заданы функции и , причем множество значений функции принадлежит области определения функции : . Тогда можно определить сложную функцию
,
называемую также композицией функций и .
Пример. Из функций и с помощью указанной операции можно составить две сложные функции: и .
Используя операцию композиции, можно из основных элементарных функций, получать новые функции, также называемые элементарными.
Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций.
Пример. Функция (читается: “модуль ”) является элементарной, так как для всех R справедливо представление . График этой функции приведен на рис. 9.
Рис. 9.
4. Обратная функция
Рассмотрим функцию с областью определения и множеством значений . Предположим, что для любого уравнение имеет единственное решение. Тогда на множестве можно определить функцию, сопоставляющую каждому такое значение , что . Эту функцию называют обратной для функции и обозначают :
.
Функцию, у которой существует обратная функция, назовем обратимой.
Обозначая, как обычно, аргумент функции через , а значение функции через , можно записать
.
Поскольку взаимная перестановка переменных и равносильна переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции симметричен графику функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой ).
Примеры. 1) Для линейной функции обратная функция также линейна и имеет вид . Меняя местами и , получаем . Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.
Рис. 10.
2) Для функции , , множество значений имеет вид . Для каждого уравнение имеет единственное решение . Поменяв местами и , получим , . Графики функций приведены на рис. 11 .
Рис. 11.
Рис. 11.
3) Обратной к показательной функции является логарифмическая функция . На рис. 12 представлены графики функций и .
Рис. 12.
Упражнения
1. Найти области определения следующих функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) .
2. Построить графики функций:
1) ,
2) ;
3) ;
4) ;
5) ,
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) .
3. Найти функции обратные к функции , указать их области определения и построить графики:
1) ;
2) ;
3) , ;
4) , ;
5) , ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Ответы
1.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) R;
6) R;
7) ;
8);
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) R;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22).
. 3.
1) , R;
2) , R;
3), ;
4) , ;
5) , ;
6) , ;
7) , ;
8) ;
9) , ;
10) , R.
1
|
|
|
|
 |
НА САЙТЕ: |
 |
, ,
|
|
