|
|
|
Комплексные числа и действия с ними |
|
Министерство Образования Российской Федерации
Отдел образования Ленинского района
Техничестая школа-лицей.
Д О К Л А Д
Комплексные числа и действия с ними.
Ученика 9 “а” класса
Князева Вячеслава.
г. Владивосток
1998
1. История развития комплексных чисел.
Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке.
И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + +=px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.
Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.
2.О комплексных числах.
Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.
Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b действитель-
ные числа , а i число нового рода, называемое мнимой единицей.
“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел
(когда а=0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b=0).
Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b ординатой комплексного числа
a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе-
ние i*i равно 1, т.е.
i2=-1. (1)
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.
Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.
Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.
3. Соглашение о комплексных числах.
1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a 0i).
П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись 2 + 0i означает 2.
2.
Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.
3. Два комплекных a + bi, a + bi считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если
a=a, b=b. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:
2 + 5i=8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i=2, тогда как i не должно бать действительным числом.
З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.
4.Сложение комплексных чисел
О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a + bi называют комплексное число (a + a) + (b + b)i.
Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4 8i)=1 - 3i
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i)=0 + 7i, т. е. 2i + 5i=7i
Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 3i)=- 4
В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.
З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.
4.Вычитание комплексных чисел.
О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a + bi (вычитаемое) называется комплексное число (a a) + (b b)i.
Пример 1. (-5 + 2i) (3 5i)=-8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) (-3 + 2i)=6 + 0i=6
5.Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a + bi можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2=- 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a + bi) должно равняться aa + (ab + ba)i + bbi2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa bb) + (ab + ba)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.
О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a + bi называется комплексное число
(aa bb) + (ab + ba)i.
З а м е ч а н и е 1. Равенство i2=-1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a=0, b=1, a=0, b=1 Имеем aa bb=-1, ab + ba=0, так что произведение есть 1 + 0i, т. е. 1.
З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2=-1.
Пример 1. (1 2i)(3 + 2i)=3 6i + 2i 4i 2=3 6i + 2i + 4=7 4i.
Пример 2. (a + bi)(a bi)=a2 + b 2
Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.
6. Деление комплексных чисел.
Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное
1 2
|
|
|
|
 |
НА САЙТЕ: |
 |
, ,
|
|
